纸上谈兵: 排序算法简介及其C实现

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

排序算法(Sorting Algorithm)是计算机算法的曾经组成每项。

排序的目标是将一组数据 (即曾经序列) 重新排列,排列后的数据符合从大到小 (或者从小到大) 的次序。这是古老但依然充沛挑战的现象图片。Donald Knuth的经典之作《计算机守护守护进程设计艺术》(The Art of Computer Programming)的第三卷就专门用于讨论排序和查找。从无序到有序,有效的减小了系统的熵值,增加了系统的有序度。对于曾经未知系统来说,有序是非常有用的先验知识。或者,排序算法太久日后构成了或者 快速算法的基础,比如二分法我希望基于有序序列的查找算法。直到今天,排序算法依然是计算机科学积极探索的曾经方向。

我在这里列出或者 最常见的排序土土措施,并尝试使用C语言实现它们。一组数据存储为曾经数组a,数组有n个元素。a[i]为数组中的曾经元素,i为元素在数组中的位置 (index)。根据C的规定,数组下标从0现在刚开始。假设数组从左向右排列,下标为0的元素指在数组的最左边。

序列将最终排列成从小到大的顺序。下面函数中的参数ac是数组中元素的数目,也我希望n。

(C语言的数组名都转成指针,传递给函数,太久不能 传递数组中元素的数目ac给函数,全版见"Expert C Programming: Deep C Secrets"一书)

起始数列 (unsorted)

有序数列 (sorted)

下面的链接中,有相关算法的动画图例,强烈推荐同时阅读。

http://www.sorting-algorithms.com/

冒泡排序 (Bubble Sort)

对于曾经或者排序好的序列,它的任意曾经相邻元素,都应该满足a[i-1] <= a[i]的关系。冒泡排序相当暴力的实现了这名目标:不断扫描相邻元素,看它们是与否违章。一旦违章,立即纠正。在冒泡排序时,计算机从右向左遍历数组,比较相邻的曾经元素。或者曾经元素的顺序是错的,不能sorry,请两位互换。或者曾经元素的顺序是正确的,则不做交换。经过一次遍历,亲们儿不能 保证最小的元素(泡泡)指在最左边的位置。

然而,经过不能一趟,冒泡排序不能保证所有的元素或者按照次序排列好。亲们儿不能 再次从右向左遍历数组元素,进行冒泡排序。这名次遍历,亲们儿不不考虑最左端的元素,或者该元素或者是最小的。遍历现在刚开始后,继续重复扫描…… 总共或者进行n-1次的遍历。

或者某次遍历过程中,不能指在交换,bingo,这名数组或者排序好,不能 中止排序。或者起始时,最大的元素指在最左边,不能冒泡算法不能 经过n-1次遍历不能将数组排列好,而不能提前完成排序。

/*By Vamei*/

/*
swap the neighbors if out of order*/ void bubble_sort(int a[], int ac) { /*use swap*/ int i,j; int sign; for (j = 0; j < ac-1; j++) { sign = 0; for(i = ac-1; i > j; i--) { if(a[i-1] > a[i]) { sign = 1; swap(a+i, a+i-1); } } if (sign == 0) break; } }

插入排序 (Insertion Sort)

假设在新生报到的日后,亲们儿将新生按照身高排好队(也我希望排序)。或者这时有一名学生加入,亲们儿将该名学生加入到队尾。或者这名学生比前面的学生低,不能日后该学生和前面的学生交换位置。这名学生最终会换到应在的位置。这我希望插入排序的基本原理。

对于起始数组来说,亲们儿认为最初,有一名学生,也我希望最左边的元素(i=0),构成曾经有序的队伍。

日后有第4个学生(i=1)加入队伍,第二名学生交换到应在的位置;日后第曾经学生加入队伍,第三名学生交换到应在的位置…… 当n个学生都加入队伍时,亲们儿的排序就完成了。

/*By Vamei*/
/*insert the next element 
  into the sorted part*/
void insert_sort(int a[], int ac)
{
    /*use swap*/
    int i,j;    
    for (j=1; j < ac; j++) 
    {
        i = j-1;
        while((i>=0) && (a[i+1] < a[i])) 
        {
            swap(a+i+1, a+i);
            i--;
        }
    }
}

取舍排序 (Selection Sort)

排序的最终结果:任何曾经元素回会大于指在它右边的元素 (a[i] <= a[j], if i <= j)。太久,在有序序列中,最小的元素排在最左的位置,第二小的元素排在i=1的位置…… 最大的元素排在最后。

取舍排序是先找到起始数组中最小的元素,将它交换到i=0;或者寻找剩下元素中最小的元素,将它交换到i=1的位置…… 直到找到第二大的元素,将它交换到n-2的位置。这时,整个数组的排序完成。

/*By Vamei*/
/*find the smallest of the rest,
  then append to the sorted part*/
void select_sort(int a[], int ac) 
{
    /*use swap*/
    int i,j;
    int min_idx;
    for (j = 0; j < ac-1; j++) 
    {
        min_idx = j;
        for (i = j+1; i < ac; i++) 
        {
            if (a[i] < a[min_idx]) 
            {
                min_idx = i;
            }
        }
        swap(a+j, a+min_idx);
    }    
}

希尔排序 (Shell Sort)

亲们儿在冒泡排序中提到,最坏的情况报告指在在大的元素指在数组的起始。哪些指在数组起始的大元素不能 多次遍历,不能交换到队尾。曾经的元素被称为乌龟(turtle)。

乌龟元素的原应分析在于,冒泡排序经常相邻的曾经元素比较并交换。太久每次从右向左遍历,大元素不能向右移动一位。(小的元素指在队尾,被称为兔子(rabbit)元素,它们不能 更快的交换到队首。)

希尔排序是以更大的间隔来比较和交换元素,曾经,大的元素在交换的日后,不能 向右移动不止曾经位置,从而更快的移动乌龟元素。比如,不能 将数组分为曾经子数组(i=4k, i=4k+1, i=4k+2, i=4k+3),对每个子数组进行冒泡排序。比如子数组i=0,4,8,12...。此时,每次交换的间隔为4。

完成对4个子数组的排序后,数组的顺序不不一定能排列好。希尔排序会不断减小间隔,重新形成子数组,并对子数组冒泡排序…… 当间隔减小为1时,就合适对整个数组进行了一次冒泡排序。日后,数组的顺序就排列好了。

希尔排序不止不能 配合冒泡排序,不能 配合或者 的排序土土措施完成。

/*By Vamei*/
/*quickly sort the turtles at the tail of the array*/
void shell_sort(int a[], int ac)
{
    int step;
    int i,j;
    int nsub;
    int *sub;

    /* initialize step */
    step = 1;
    while(step < ac) step = 3*step + 1;

    /* when step becomes 1, it's equivalent to the bubble sort*/
    while(step > 1) {
       /* step will go down to 1 at most */
       step = step/3 + 1;
       for(i=0; i<step; i++) {
           /* pick an element every step, 
              and combine into a sub-array */
           nsub = (ac - i - 1)/step + 1;            
           sub = (int *) malloc(sizeof(int)*nsub);
           for(j=0; j<nsub; j++) {
               sub[j] = a[i+j*step]; 
           }
           /* sort the sub-array by bubble sorting. 
              It could be other sorting methods */
           bubble_sort(sub, nsub);
           /* put back the sub-array*/
           for(j=0; j<nsub; j++) {
               a[i+j*step] = sub[j];
           }
           /* free sub-array */
           free(sub);
       }    
    }
}

Shell Sorting依赖于间隔(step)的取舍。曾经常见的取舍是将本次间隔设置为上次间隔的1/1.3。见参考书籍。

归并排序 (Merge Sort)

或者亲们儿要将一副扑克按照数字大小排序。此前或者有曾经人分别将其中的一半排好顺序。不能亲们儿不能 将这两堆扑克向上放好,假设小的牌在上方。此时,亲们儿将就看牌堆中最上的两张牌。

亲们儿取两张牌中小的那张取出倒入转过身。曾经牌堆中又是两张牌暴露在最上方,继续取小的那张倒入转过身…… 直到所有的牌都倒入转过身,不能整副牌就排好顺序了。这我希望归并排序

下面的实现中,使用递归:

/*By Vamei*/
/*recursively merge two sorted arrays*/
void merge_sort(int *a, int ac)
{
    int i, j, k;    
    int ac1, ac2;
    int *ah1, *ah2;
    int *container;

    /*base case*/    
    if (ac <= 1) return;

    /*split the array into two*/
    ac1 = ac/2;
    ac2 = ac - ac1;
    ah1 = a + 0;
    ah2 = a + ac1;

    /*recursion*/
    merge_sort(ah1, ac1);
    merge_sort(ah2, ac2);
 
    /*merge*/
    i = 0;
    j = 0;
    k = 0;
    container = (int *) malloc(sizeof(int)*ac);
    while(i<ac1 && j<ac2) {
        if (ah1[i] <= ah2[j]) {
            container[k++] = ah1[i++];
        } 
        else {
            container[k++] = ah2[j++];
        }
    }
    while (i < ac1) {
        container[k++] = ah1[i++];
    }
    while (j < ac2) {
        container[k++] = ah2[j++];
    }

    /*copy back the sorted array*/
    for(i=0; i<ac; i++) {
        a[i] = container[i];
    }
    /*free space*/
    free(container);
}

快速排序 (Quick Sort)

亲们儿依然考虑按照身高给学生排序。在快速排序中,亲们儿随便挑出曾经学生,以该学生的身高为参考(pivot)。或者让比该学生低的站在该学生的右边,剩下的站在该学生的左边。

很明显,所有的学生被分成了两组。该学生右边的学生的身高都大于该学生左边的学生的身高。

亲们儿继续,在低身高学生组随便挑出曾经学生,将低身高组的学生分为两组(很低和不不能低)。同样,将高学生组也分为两组(不不能高和很高)。

不能继续细分,直到分组中不能曾经学生。当所有的分组中都不能曾经学生时,则排序完成。

在下面的实现中,使用递归:

/*By Vamei*/
/*select pivot, put elements (<= pivot) to the left*/
void quick_sort(int a[], int ac)
{
    /*use swap*/

    /* pivot is a position, 
       all the elements before pivot is smaller or equal to pvalue */
    int pivot;
    /* the position of the element to be tested against pivot */
    int sample;

    /* select a pvalue.  
       Median is supposed to be a good choice, but that will itself take time.
       here, the pvalue is selected in a very simple wayi: a[ac/2] */
    /* store pvalue at a[0] */
    swap(a+0, a+ac/2);
    pivot = 1; 

    /* test each element */
    for (sample=1; sample<ac; sample++) {
        if (a[sample] < a[0]) {
            swap(a+pivot, a+sample);
            pivot++;
        }
    }
    /* swap an element (which <= pvalue) with a[0] */
    swap(a+0,a+pivot-1);

    /* base case, if only two elements are in the array,
       the above pass has already sorted the array */
    if (ac<=2) return;
    else {
        /* recursion */
        quick_sort(a, pivot);
        quick_sort(a+pivot, ac-pivot);
    }
}

理想的pivot是采用分组元素中的中位数。然而寻找中位数的算法不能 另行实现。只是我需要 随机取舍元素作为pivot,随机取舍只是我需要 另行实现。为了简便,我每次都采用上方位置的元素作为pivot。

堆排序 (Heap Sort)

(heap)是常见的数据外部。它是曾经有优先级的队列。最常见的堆的实现是曾经有限定操作的Complete Binary Tree。这名Complete Binary Tree保持堆的外部,也我希望父节点(parent)大于子节点(children)。或者,堆的根节点是所有堆元素中最小的。堆定义有插入节点删除根节点操作,这曾经操作都保持堆的外部。

亲们儿不能 将无序数组构成曾经堆,或者不断取出根节点,最终构成曾经有序数组。

堆的更全版描述请阅读参考书目。

下面是堆的数据外部,以及插入节点和删除根节点操作。让他很方便的构建堆,并取出根节点,构成有序数组。

/* By Vamei 
   Use an big array to implement heap
   DECLARE: int heap[MAXSIZE] in calling function
   heap[0] : total nodes in the heap
   for a node i, its children are i*2 and i*2+1 (if exists)
   its parent is i/2  */

void insert(int new, int heap[]) 
{
    int childIdx, parentIdx;
    heap[0] = heap[0] + 1;
    heap[heap[0]] = new;
    
    /* recover heap property */
    percolate_up(heap);
}

static void percolate_up(int heap[]) {
    int lightIdx, parentIdx;
    lightIdx  = heap[0];
    parentIdx = lightIdx/2;
    /* lightIdx is root? && swap? */
    while((parentIdx > 0) && (heap[lightIdx] < heap[parentIdx])) {
        /* swap */
        swap(heap + lightIdx, heap + parentIdx); 
        lightIdx  = parentIdx;
        parentIdx = lightIdx/2;
    }
}


int delete_min(int heap[]) 
{
    int min;
    if (heap[0] < 1) {
        /* delete element from an empty heap */
        printf("Error: delete_min from an empty heap.");
        exit(1);
    }

    /* delete root 
       move the last leaf to the root */
    min = heap[1];
    swap(heap + 1, heap + heap[0]);
    heap[0] -= 1;

    /* recover heap property */
    percolate_down(heap);
 
    return min;
}

static void percolate_down(int heap[]) {
    int heavyIdx;
    int childIdx1, childIdx2, minIdx;
    int sign; /* state variable, 1: swap; 0: no swap */

    heavyIdx = 1;
    do {
        sign     = 0;
        childIdx1 = heavyIdx*2;
        childIdx2 = childIdx1 + 1;
        if (childIdx1 > heap[0]) {
            /* both children are null */
            break; 
        }
        else if (childIdx2 > heap[0]) {
            /* right children is null */
            minIdx = childIdx1;
        }
        else {
            minIdx = (heap[childIdx1] < heap[childIdx2]) ?
                          childIdx1 : childIdx2;
        }

        if (heap[heavyIdx] > heap[minIdx]) {
            /* swap with child */
            swap(heap + heavyIdx, heap + minIdx);
            heavyIdx = minIdx;
            sign = 1;
        }
    } while(sign == 1);
}

总结

除了上方的算法,还有诸如Bucket Sorting, Radix Sorting涉及。我会在未来实现了相关算法日后,补充到这篇文章中。相关算法的时间繁复度分析不能 参考书目中找到。我我每每个人所有也做了粗糙的分析。或者博客园能支持数学公式的显示,让他把我每每个人所有的分析过程贴出来,用于引玉。

上方的各个代码是我我每每个人所有写的,只进行了很简单的测试。或者有错漏,先谢谢你的指正。

最后,上文中用到的交换函数为:

/* By Vamei */
/* exchange the values pointed by pa and pb*/
void swap(int *pa, int *pb)
{
    int tmp;
    tmp = *pa;
    *pa = *pb;
    *pb = tmp;
}

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据外部”系列。